Noyau de Peano

On considère la formule de quadrature suivante:

.

  1. Donner la valeur de puis les valeurs possibles pour et :

    < 0 et

    ou bien

    > 0 et

    de sorte que (*) soit exacte pour les éléments de la base cononique de .
  2. Donner l'ordre maximal de la méthode .
  3. Donner l'expression du noyau de Peano en remplissant les cases suivantes:

    .

  4. Donner une majoration de l'erreur en fonction de la dérivée d'ordre $val17 de .

    .


Méthode du point milieu

On désire calculer une valeur approchée de l'intégrale

par la méthode du point milieu à près. Pour cela, on prend un nombre de subdivisions uniformes de l'intervalle égal à $val9.

  1. Calculer la valeur du pas .
  2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale .
  3. Le nombre de subdivisions assure-t-il la précision voulue? .
La valeur du pas est $val15 et la valeur exacte de l'intégrale est $val16 . et en effet, le nombre de subdivisions $val9 n'assure pas la précision voulue.

Donner le nombre minimal de subdivisions qui assure cette précision.

Calculer la valeur de correspondant à ce nombre de subdivisions.


Méthode des rectangles

Le but de l'exercice est de calculer une valeur approchée de l'intégrale

par la méthode des rectangles à gauche à près. Pour cela, on prend $val9 subdivisions uniformes de l'intervalle .

  1. Calculer la valeur du pas .
  2. Donner la valeur exacte de l'intégrale .
  3. Le nombre de subdivisions permet-il de calculer une valeur approchée avec la précision demandée $val14 ? .
La valeur du pas est $val15 et la valeur exacte de l'intégrale est $val16 et en effet, le nombre de subdivisions $val9 n'assure pas la précision voulue.

Donner le nombre minimal de subdivisions qui assure cette précision :

Calculer la valeur de pour ce nombre de subdivisions par la méthode des rectangles à gauche


Ordre

On considère la formule de quadrature suivante:

.

Quelles relations doivent vérifier pour que cette formule soit exacte pour:

Les fonctions constantes
Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à un
Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à deux

On rentrera les variables , sous la forme x1, x2. On écrira les conditions relatives à la base canonique de l'espace des polynômes.