Noyau de Peano
On considère la formule de quadrature suivante:
.
- Donner la valeur de
puis les valeurs possibles pour
et
:
< 0 et
ou bien
> 0 et
de sorte que (*) soit exacte pour les éléments de la base cononique de
. - Donner l'ordre maximal de la méthode
.
- Donner l'expression du noyau de Peano en remplissant les cases suivantes:
.
- Donner une majoration de l'erreur
en fonction de la dérivée d'ordre $val17 de
.
.
Méthode du point milieu
On désire calculer une valeur approchée
de l'intégrale
par la méthode du point milieu à
près. Pour cela, on prend un nombre de subdivisions uniformes
de l'intervalle
égal à
$val9.
- Calculer la valeur du pas
.
- Calculer la valeur exacte de l'intégrale
.
- Le nombre de subdivisions
assure-t-il la précision voulue?
.
La valeur du pas est
$val15 et la valeur exacte de l'intégrale est
$val16
.
et en effet, le nombre de subdivisions
$val9 n'assure pas la précision voulue. Donner le nombre minimal de subdivisions
qui assure cette précision.
Calculer la valeur de
correspondant à ce nombre de subdivisions.
Méthode des rectangles
Le but de l'exercice est de calculer une valeur approchée
de l'intégrale
par la méthode des rectangles à gauche à
près. Pour cela, on prend
$val9 subdivisions uniformes
de l'intervalle
.
- Calculer la valeur du pas
.
- Donner la valeur exacte de l'intégrale
.
- Le nombre de subdivisions
permet-il de calculer une valeur approchée avec la précision demandée $val14 ?
.
La valeur du pas est
$val15 et la valeur exacte de l'intégrale est
$val16
et en effet, le nombre de subdivisions
$val9 n'assure pas la précision voulue. Donner le nombre minimal de subdivisions qui assure cette précision :
Calculer la valeur de
pour ce nombre de subdivisions par la méthode des rectangles à gauche
Ordre
On considère la formule de quadrature suivante:
. Quelles relations doivent vérifier
pour que cette formule soit exacte pour:
Les fonctions constantes |
|
Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à un |
|
Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à deux |
|
On rentrera les variables
,
sous la forme x1, x2. On écrira les conditions relatives à la base canonique de l'espace des polynômes.