Isométrie vectorielle

Soit un $m_RR-espace vectoriel euclidien de dimension 3 muni d'une base orthonormée directe . On considère l'endomorphisme de de matrice dans :

=

La matrice est orthogonale car elle vérifie , l'endomorphisme est donc une isométrie.

Est-ce une isométrie ? C'est une rotation. Calculer son angle non orienté (nombre entre 0 et $m_pi ). Cette isométrie une symétrie.

Pour vous aider à faire les calculs : $val13


Isométrie vectorielle (bis)

Soit un -espace vectoriel euclidien de dimension muni d'une base orthonormée directe .

On considère l'endomorphisme de $m_E de matrice dans $m_calC :

.

La matrice est orthogonale car elle vérifie , donc est une isométrie.

Question 1 : L'isométrie est-elle une symétrie ?

Question 2 : L'isométrie est ou

Question 2 : L'isométrie est ou

Pour vous aider à faire les calculs : $val13


QCM : Isométries affines

Cet exercice a 8 versions différentes. N'hésitez pas à le recommencer.

Dans l'espace affine euclidien de dimension , on considère une isométrie affine d'application linéaire associée .

On suppose que $val28 alors peut être


QCM : Points fixes, parties stables

Cet exercice a 9 versions différentes. N'hésitez pas à le recommencer.

Dans l'espace affine euclidien de dimension , on considère une isométrie affine d'application linéaire associée .

On suppose que $val28 alors peut être


QCM : Trace d'une isométrie

Dans l'espace affine euclidien de dimension , on considère une isométrie affine d'application linéaire associée .

On suppose que $val29 ; alors peut être


Rotation vectorielle

Soit un -espace vectoriel euclidien de dimension muni d'une base orthonormée directe .

On considère la rotation de $m_E de matrice dans :

Donnez un vecteur directeur de son axe :

On oriente l'axe de par ce vecteur directeur. Entrez la mesure (sous forme décimale ou en radian) comprise entre - et de l'angle de :

Pour vous aider à faire les calculs : $val13


Isométrie avec paramètres

Soit $m_calB une base orthonormée directe de l'espace vectoriel euclidien . On pose :

.

Calculer , , et de manière à ce que soit la matrice dans $m_calB d'une $val12.

Pour vous aider à faire les calculs : $val10


Rotation, antirotation

Soit un -espace vectoriel euclidien de dimension muni d'une base orthonormée directe .

On considère l'endomorphisme de $m_E de matrice dans :

.

La matrice est orthogonale car elle vérifie , donc est une isométrie.

Question 1 : La matrice n'est pas symétrique donc l'isométrie est une ou une $m_endif

Question 2 : L'isométrie est bien une rotation.

Question 2 : L'isométrie est bien une antirotation. Donnez un vecteur directeur de son axe.

On oriente l'axe de par le vecteur ($m_reply2). Entrez la mesure (sous forme décimale en radian ou comme fraction de pi) comprise entre -$m_pi et $m_pi de l'angle de .

Question 3 : Donnez une équation du plan stable par . $m_endif

Pour vous aider à faire les calculs : $val14


Réflexion glissée par rapport à un plan

$val6 Soit la réflexion par rapport au plan d'équation et la translation de vecteur .
L'isométrie est une . Dans la décomposition canonique de la réflexion glissée :