Carrelages

$val9 On désire paver le plan avec des carreaux rectangulaires de manière à ce que chaque coin en bas à gauche soit sur un point du réseau dessiné [ ]
On désire de plus que les deux extrémités des bords $val8 soient sur le réseau. Placer avec la souris le premier pavé dont le coin en bas à gauche est le point rouge :

Donner la dimension des carreaux (horizontale, verticale)

$m_times


Carrelages et matrices d'Hermite

Voici un réseau dessiné :

La matrice d'Hermite (échelonnée en colonnes, triangulaire $(val8[1])) qui lui est associée est

Donner la matrice d'Hermite (échelonnée en colonnes, triangulaire $(val8[$m_step])) qui lui est associée :


Carrelages : taille

Donner la taille des carreaux rectangulaires permettant de le plan parallèlement aux axes de manière à ce que le groupe de translations du pavage soit engendré par les deux vecteurs et :

$m_times

$m_times


Bases commensurables

Soit le réseau standard et soit le sous-$m_ZZ-module engendré par les vecteurs

et .

Donner une base de qui soit commensurable avec une base de , ce qui signifie que pour certains entiers et positifs, est une base de :


Sous-groupes de (Z/NZ)^*

$val6 Soit .
Calculer le plus grand entier tel que contienne un sous-groupe isomorphe à :

Diviseurs élémentaires et base associée

Le vecteur Les vecteurs colonnes de la matrice

est le générateur sont les générateurs d'un sous-$m_ZZ-module de .

Le diviseur élémentaire Les diviseurs élémentaires de , considéré comme sous-module de , est sont, du plus grand au plus petit,

.

Donner une base de associée à :


S'il y a plusieurs diviseurs élémentaires, séparez-les par des virgules.
Entrer la base associée en forme d'une matrice où les vecteurs colonnes forment la base associée. Donner d'abord les vecteurs associés aux diviseurs élémentaires dans le même ordre que ceux-là, puis le reste de la base.


Diviseurs élémentaires

Le vecteur Les vecteurs colonnes de la matrice

est le générateur sont les générateurs d'un sous-$m_ZZ-module de .

Le diviseur élémentaire Les diviseurs élémentaires de , considéré comme sous-module de , est sont, du plus grand au plus petit,

.


Base d'un réseau

Le dessin ci-dessous montre un réseau dans , ainsi qu'en couleur rouge un vecteur du réseau qui fait partie d'une base.
Avec lequel des vecteurs en vert le vecteur rouge forme-t-il une base du réseau ? Cliquez sur le point convenable.


Groupes abéliens

Ecrire le groupe abélien

. . . .

sous la forme

,

où divise pour tout .

Groupe d'unités de Z/nZ

Donner les invariants du groupe dans l'ordre décroissant.
Séparez les invariants par des virgules.

Image d'un Z-module

$val10 Trouver deux vecteurs formant une base du $m_ZZ-module engendré par les trois vecteurs :
, , .

,


Base d'un sous-Z-module

$val12 Trouver une base du $m_ZZ-module engendré par les vecteurs :
$m_j =
Ecrire la réponse sous forme d'une matrice dont les colonnes seront les vecteurs de la base que vous avez trouvée :

Vous pouvez utiliser un logiciel de calcul (sur ce serveur Pari/GP par exemple).

Image d'un Z-module (avec aide)

$val10 Trouver deux vecteurs formant une base du $m_ZZ-module engendré par les trois vecteurs :
, , .
sachant que :

,


Interprétation de la forme de Smith

On veut interpréter l'égalité suivante des matrices

=

sachant que et sont de déterminant $m_pm 1. On a d'autre part

et .


Soit le sous-$m_ZZ-module de engendré par les vecteurs , ..., représentés par les colonnes de la matrice dans la base canonique , ..., .

Etape 1 : Les vecteurs colonnes de $(val6[$val8]) forment

Etape 2 : Ecrire les vecteurs du nouveau système générateur , ..., de obtenu par cette écriture comme combinaison linéaire des vecteurs , ..., (on les écrira dans l'ordre dans lequel ils interviennent naturellement) :
w_$m_r = + v_$m_s
Ecrire ensuite les vecteurs , ..., dans la base , ..., :
w_$m_r = + e_$m_s
Donner l'expression de la nouvelle base , ..., de naturellement obtenue par cette écriture dans la base , ..., :
f_$m_r = + e_$m_s
Un multiple de chacun des vecteurs , ..., appartient au $m_ZZ-module . Donner le plus petit multiple (positif) et l'exprimer dans le système générateur des , ..., :
f_$m_r = + v_$m_s

Consigne : Il n'y a quasiment aucun calcul à faire. Plusieurs réponses sont peut-être possibles, mais la seule acceptée est celle venant directement de l'égalité de matrices données.


Groupes abéliens isomorphes ?

Les deux groupes abéliens suivants sont-ils isomorphes ?

$m_ZZ/$(val12[$m_i])$m_ZZ $m_oplus $m_ZZ/$(val12[$val14])$m_ZZ

et

$m_ZZ/$(val6[$m_i])$m_ZZ $m_oplus $m_ZZ/$(val6[$val13])$m_ZZ


Maçonnerie I

$val18 ([ ] en dimension 2) Donner les 6 tailles de briques possibles (avec répétitio éventuellement)

, , , , ,

sous la forme 1,2,3

Matrices élémentaires

Si l'on multiplie à $val11 une matrice par la matrice , Si l'on multiplie à $val11 une matrice par la matrice , $(val15[$val14]). Plus précisément, $(val16[$val14;1]) $(val16[$val14;2]) .

Multiplication/puissance dans Z/nZ

$(val8[$val10;])


Z-modules et formes normales

$val13

Quotient de deux Z-modules

Soit le sous-$m_ZZ-module de engendré par le vecteur les vecteurs colonnes de la matrice

.

Calculer la décomposition du module quotient en somme directe d'une partie libre et de sous-modules de torsion $m_ZZ/ $m_ZZ, où est divisible par .

= $m_ZZ $m_oplus $m_ZZ/ $m_ZZ


Z-modules dans Q^*

$val6 Soit l'homomorphisme de groupes de dans défini par

L'image de est contenue dans le sous-$m_ZZ-module engendré par $val13.

Calculer la matrice de dans la base canonique de et dans la base $val13.

La matrice de dans la base canonique de et dans la base $val13 est et on a l'égalité

$m_times $m_times =

Quel est le rang du $m_ZZ-module image de ?

Quel est le rang du noyau de ?

Donner la base de vecteurs du noyau qui vous est suggérée :

Quel est l'indice de dans


Relations dans un groupe abélien

$val6 Soit le groupe abélien ayant $val7 générateurs dont un système complet de relations est $val11
Donner les invariants du groupe (il doit y en avoir $val7, d'abord les 0 éventuels, puis les invariants en décroissant y compris les 1 si nécessaire).

Le groupe est-il fini ?
Les invariants de sont $val10 et est fini. n'est pas fini.

Relation entière entre des vecteurs

$val10 Trouver une combinaison linéaire à coefficients entiers

= 0

entre les trois vecteurs :
, , .
On demande une relation génératrice de toutes les combinaisons linéaires entières :

, ,


Surjectivité

L'application linéaire de $m_ZZ-modules dont la matrice dans les bases canoniques est

est-elle surjective ?