Trous d'addition
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Classes de congruences
$val16 ?
Congruences avec un paramètre
Calculer le nombre
modulo $val7 en fonction du chiffre
. Consigne : Dans la réponse, les entiers doivent être compris entre 0 et $val8.
Trous cubiques
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Trous de division
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Division I
Calculer $val10/$val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.
Division II
Calculer $val10/$val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.
Division III
Calculer $val10/$val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.
Diviseurs de zéro
Est-ce que $val7 est un diviseur de zéro dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ ?
Diviseurs de zéro II
Trouver l'ensemble des diviseurs de zéro dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. (Dans cet exercice on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.) Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 1 et $val7, et séparer les éléments par des virgules.
Diviseurs de zéro III
Nous avons $val7=$val62, où $val6 est un nombre premier. Combien de diviseurs de zéro y a-t-il dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ ? Dans cet exercice, on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.
Racines modulo p^2
Soit le polynôme
. Il a deux racines
$val9 et $val10
dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ.
Calculer-les.
(on les donnera sous forme d'un entier compris entre 0 et $val8).
Soit
dans $m_ZZ.
Calculer
mod
.
(les entiers apparaissant seront compris entre 0 et
).
Vous avez trouvé
mod
.
Ainsi, l'équation
mod
est équivalente à
mod
.
Existe-t-il un unique entier
compris entre 0 et
, congru à $val9 modulo $val7 et tel que
mod
?
Réponse :
L'équation
mod
est en effet équivalente à l'équation
mod $val7. Calculer l'entier
compris entre 0 et
, congru à $val9 modulo $val7 et tel que
mod
.
Combien y-a-t-il de solutions (modulo
) à l'équation
mod
qui soient congrues à $val10 mod $val7 ?
Inverse I
Trouver l'inverse de $val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.
Inverse II
Trouver l'inverse de $val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.
Inverse III
Trouver l'inverse de $val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.
Puissance inversible
$val9 est un nombre premier. La fonction
$m_ZZ/$val9$m_ZZ $m_to $m_ZZ/$val9$m_ZZ définie par
est-elle bijective ?
Divisibilité
On suppose que le nombre premier $val7 divise
pour deux entiers
et
. Peut-on conclure que $val7 divise
et
?
Equation linéaire modulaire
Soit l'équation dans $m_ZZ
$m_equiv $val12 mod $val8
L'équation a-t-elle une solution ?
L'ensemble des solutions
est de la forme
$m_ZZ avec
un entier positif et
un ensemble fini d'entiers de $m_NN strictement inférieurs à
. En prenant
le plus petit possible, donner tous les éléments de
.
L'ensemble des solutions
est de la forme
$m_ZZ avec
un ensemble fini d'entiers de
strictement inférieurs à $val8. Donner tous les éléments de
+
$m_ZZ
$val8 $m_ZZ
Remplacer le second membre $val12 par un autre entier de manière à ce que la nouvelle équation ait une solution.
Trous de multiplication
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Multiples spéciaux
Soit
. Trouver le plus petit entier
tel que l'entier qui s'écrit en base
avec
chiffres tous égaux à 1 soit un multiple de
.
Multiples spéciaux II
Soit
. C'est un nombre premier. Trouver le plus petit entier
tel que l'entier qui s'écrit en base
sous la forme
avec
fois le motif $val9 soit un multiple de
.
Période d'un rationnel en base b
Le développement du rationnel
écrit en base $val6 est périodique de période $val7 à partir de la
première
$val10-ième
"décimale". Quels sont tous les diviseurs premiers possibles du dénominateur de
(dans l'écriture décimale) ?
Trous de polynôme
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Puissances
Calculer l'élément $val9$val7 dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.
Puissances II
$val6 est un nombre premier. Calculez l'élément $val9$val7 dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.
Trous de puissance
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Racines modulo
Soit
le nombre premier $val7. On désire calculer un entier
tel que
$m_equiv $val9 mod $val7 .
- Calculer un entier
tel que
soit congru à 1 modulo un nombre
que vous devez déterminer et qui vous sera utile pour ce problème.
=
=
- Quelle puissance de
faut-il calculer ?
- Calculer une solution
=
mod $val7.
Racines
$val6 est un nombre premier. Il y a un élément
dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ, tel que a$val10 soit congru à $val16 modulo $val6. Trouver
. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val7.
Racines de l'unité dans Z/pZ (I)
Soit l'équation
$m_equiv 1 mod $val6 .
Calculer le plus petit entier
tel que cette équation soit équivalente à
$m_equiv 1 mod $val6
et donner le nombre de solutions
Racines de l'unité dans Z/pZ (II)
Soit le système d'équations
Calculer le plus petit entier
tel que cette équation soit équivalente à
$m_equiv 1 mod $val6 .
Quel est le nombre de solutions modulo $val6 ?
Calculs simples dans Z/nZ
Calculer
dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val7.
Calculs simples modulo n
Calculer
modulo $val6 . Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val7.
Carrés
Trouver l'ensemble des carrés dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. (Un carré dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ est un élément qui est le carré d'un autre.) Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 0 et $val7, et séparer les éléments par des virgules.
Somme et produit
Trouver deux entiers $val7, $val8 tels que 0
$val7
$val10 , 0
$val8
$val10 , $val7 + $val8
$val13 (mod $val9) , $val7 × $val8
$val14 (mod $val9) .
Vous pouvez entrer les deux nombres dans n'importe quel ordre.
Système linéaire modulo n II
Trouver toutes les solutions dans $m_ZZ du système d'équations suivant
On écrira les solutions sous la forme avec
et
dans $m_ZZ.
Système linéaire modulo n I
Le système d'équations suivant
a-t-il une unique solution modulo $val19 ?
Système linéaire modulo n II
Trouver toutes les solutions dans $m_ZZ du système d'équations suivant
On écrira les solutions sous la forme avec
et
dans $m_ZZ.
Trous de trinôme
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.